Tentukanbesar vektor berikut beserta vektor satuannya. Lalu muncul pertanyaan dan juga pembahasan yang tersedia, kita bisa memilih situs mana yang paling pas. Karna tidak semua situs yang ada diinternet menjelaskan caranya secara lengkap. Besar vektor adalah sebagai berikut. Vektor satuan dari
Hai Quipperian, saat belajar Fisika, tentu kamu sudah dikenalkan dengan besaran vektor kan? Apakah kamu masih ingat? Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Ternyata, vektor juga dipelajari di Matematika, lho. Bedanya, di Matematika kamu akan diarahkan lebih mendalam tentang kedudukan si vektor itu sendiri. Penasaran? Yuk, simak selengkapnya! Apa itu Vektor dan Apa Saja yang Dipelajari? Vektor adalah besaran yang memiliki besar/nilai dan arah. Untuk menyatakan suatu vektor, kamu harus menyertakan tanda panah di atas lambang besarannya. Di artikel sebelumnya, Quipper Blog sudah mengupas tuntas tentang Matematika Vektor ini. Di dalamnya membahas tentang sifat-sifat vektor, operasi vektor, notasi vektor, sampai penentuan koordinat. Di artikel ini, Quipper Blog akan mengulas beberapa contoh soal terkait vektor. Ayo belajar bersama-sama! Contoh Soal Vektor Contoh soal yang akan dibahas kali ini meliputi contoh soal vektor posisi, contoh soal vektor satuan, contoh soal panjang vektor, contoh soal perkalian vektor, contoh soal pengurangan vektor, dan contoh soal penjumlahan vektor. Contoh soal 1 Diketahui besaran vektor seperti berikut. Jika vektor posisi titik B adalah , vektor posisi titik A adalah β¦. Pembahasan Ingat, komponen vektor , merupakan hasil pengurangan antara vektor posisi titik B dan titik A, sehingga diperoleh Jadi, vektor posisi titik A adalah . Jawaban A Contoh soal 2 Diketahui dua buah vektor posisi seperti berikut. Vektor bisa dinyatakan sebagai β¦. Pembahasan Vaktor merupakan hasil pengurangan antara vektor posisi di titik P dan vektor posisi di titik Q. Dengan demikian Jadi, vektor bisa dinyatakan sebagai . Jawaban B Contoh soal 3 Diketahui koordinat titik K2, -1, 3 dan titik L1, 2, 1. Vektor satuan berikut yang searah dengan vektor KL adalah β¦. Pembahasan Mula-mula, kamu harus mencari dahulu vektor KL. Selanjutnya, tentukan vektor satuan yang searah dengan vektor KL. Jadi, vektor satuan yang searah dengan vektor KL adalah . Jawaban C Contoh soal 4 Perhatikan titik koordinat Cartesius berikut. Vektor satuan dari vektor A adalah β¦. Pembahasan Mula-mula, tentukan titik koordinat vektor A terlebih dahulu. Lalu, tentukan vektor satuannya dengan persamaan berikut. Jadi, vektor satuan dari vektor A adalah . Jawaban D Contoh soal 5 Diketahui dua vektor posisi seperti berikut. Jika panjang vektor ST=10, nilai 2x adalah β¦. 4 -8 3 5 -6 Pembahasan Mula-mula, kamu harus menentukan vektor ST seperti berikut. Selanjutnya, gunakan persamaan panjang vektor untuk mencari nilai x. Jadi, nilai 2x = 8 atau 2x = 4. Jawaban A Contoh soal 6 Perhatikan empat vektor berikut. Diketahui , berapakah nilai 2x + 3y β z? Pembahasan Diketahui perkalian titik . Untuk menyelesaikannya, kamu harus mengalikan elemen-elemen yang letaknya sama seperti berikut. Dengan demikian, diperoleh nilai x, y, dan z berturut-turut adalah 2, -2, dan 6. Jadi, nilai 2x + 3y β z = 22 + 3-2 β 6 = -8. Contoh soal 7 Diketahui dan . Jika , berapakah hasil dari ? Pembahasan Mula-mula, kamu harus menentukan hasil perkalian silang antara g dan h. Selanjutnya, tentukan perkalian titik antara dan s. Jadi, hasil dari adalah . Contoh soal 8 Diketahui dua buah vektor berikut! Jika hasil penjumlahan kedua vektor tersebut menghasilkan , tentukan nilai x + y! Pembahasan Penjumlahan dilakukan antara elemen yang seletak seperti berikut. Jadi, nilai x + y = 5 + 1 = 6. Contoh soal 9 Jika dan , berapakah nilai ? Pembahasan Mula-mula, kamu harus menentukan nilai pengurangan antara vektor p dan vektor q. Lalu, tentukan nilai dengan cara berikut. Jadi, nilai . Contoh soal 10 Perhatikan grafik berikut. Jika dan , tentukan hasil dari ! Pembahasan Di soal ditanyakan hasil perkalian titik skalar antara dua vektor. Syarat perkalian itu adalah pangkal kedua vektor harus berimit di satu titik yang sama. Untuk memenuhi syarat itu, kamu bisa menggeser vektor w ke arah sumbu z positif seperti berikut. Dengan demikian, diperoleh Jadi, hasil dari adalah 24. Itulah pembahasan Quipper Blog kali ini. Semoga bisa kamu jadikan referensi belajar, ya. Jika ingin mendapatkan latihan soal lainnya, yuk buruan gabung Quipper Video. Bersama Quipper Video, belajar jadi lebih mudah dan menyenangkan. Salam Quipper!
Tentukanvektor yang sama dari vektor-vektor berikut! January 26, 2020 Post a Comment Tentukan vektor yang sama dari vektor-vektor berikut! Kunjungi terus: :) Share : Post a Comment for "Tentukan vektor yang sama dari vektor-vektor berikut!" Newer Posts Older Posts Pondok Budaya Bumi Wangi. DMCA. About Me. Mas Dayat Lereng
Tentukan Vektor Yang Sama Dari Vektor-vektor Berikut! β Apakah kamu sedang kesulitan menjawab pertanyaan mengenai Tentukan Vektor Yang Sama Dari Vektor-vektor Berikut! ?. Jika Iya, maka kamu berada halaman yang tepat. Kami telah mengumpulkan 5 jawaban mengenai Tentukan Vektor Yang Sama Dari Vektor-vektor Berikut!. Silakan baca lebih lanjut di bawah. 5 Jawaban Mengenai Tentukan Vektor Yang Sama Dari Vektor-vektor Berikut! Tentukan vektor yang Pertanyaan tentukan vektor yang sama dari vektor-vektor berikutβ Jawaban Jawaban a, g, h b, d, i, k c, l f, j e Penjelasan dengan langkah-langkah Semoga membantu Tentukan vektor yang Pertanyaan Tentukan vektor yang sama dari vektor-vektor di gambar berikut! Jawaban membantu ya Tentukan vektor yang Pertanyaan tentukan vektor yang sama dari vektor vektor berikut Jawaban vektor a=b=e=h, vektor d=j,vektor g, vektor c=f=i Tentukan vektor satuan Pertanyaan Tentukan vektor satuan dari vektor β vektor berikut ! Jawaban Tentukan vektor satuan dari vektor β vektor berikut! Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Penulisannya bisa ditulis dalam 2 huruf kapital atau 1 huruf kecil. Penulisan vektor bisa dalam bentuk Baris u = uβ, uβ Kolom u = [tex]left[begin{array}{cc}u_{1}\u_{2}end{array}right][/tex] Basis u = uβi + uβj Besar atau panjang vektor u u = βuβΒ² + uβΒ² Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya sama dengan satu Vektor satuan u = [tex]frac{1}{u}[/tex].u Pembahasan a u = [tex]left[begin{array}{cc}8\6end{array}right][/tex] u = β8Β² + 6Β² u = β64 + 36 u = β100 u = 10 Jadi vektor satuan u adalah = [tex]frac{1}{u}[/tex].u = [tex]frac{1}{10} . left[begin{array}{cc}8\6end{array}right] [/tex] = [tex]left[begin{array}{cc}frac{8}{10}\ frac{6}{10} end{array}right][/tex] = [tex]left[begin{array}{cc}frac{4}{5}\ frac{3}{5} end{array}right][/tex] b b = [tex]left[begin{array}{cc}-5\12end{array}right][/tex] b = β-5Β² + 12Β² b = β25 + 144 b = β169 b = 13 Jadi vektor satuan b adalah = [tex]frac{1}{b}[/tex].b = [tex]frac{1}{13} . left[begin{array}{cc}-5\12end{array}right] [/tex] = [tex]left[begin{array}{cc}-frac{5}{13}\ frac{12}{13} end{array}right][/tex] c s = [tex]left[begin{array}{ccc}3\-2\6end{array}right][/tex] s = β3Β² + -2Β² + 6Β² s = β9 + 4 + 36 s = β49 s = 7 Jadi vektor satuan s adalah = [tex]frac{1}{s}[/tex].s = [tex]frac{1}{7} . left[begin{array}{ccc}3\-2\6end{array}right] [/tex] = [tex]left[begin{array}{cc}frac{3}{7}\ -frac{2}{7} \ frac{6}{7} end{array}right][/tex] d t = [tex]left[begin{array}{ccc}12\3\4end{array}right][/tex] t = β12Β² + 3Β² + 4Β² t = β144 + 9 + 16 t = β169 t = 13 Jadi vektor satuan t adalah = [tex]frac{1}{t}[/tex].t = [tex]frac{1}{13} . left[begin{array}{ccc}12\3\4end{array}right] [/tex] = [tex]left[begin{array}{cc}frac{12}{13}\ frac{3}{13} \ frac{4}{13} end{array}right][/tex] Pelajari lebih lanjut Contoh soal lain tentang panjang vektor ββββββββββββββββ Detil Jawaban Kelas 10 Mapel Matematika Kategori Vektor Kode Kata Kunci Tentukan vektor satuan dari vektor β vektor berikut! Tentukan vektor yang Pertanyaan tentukan vektor yang sama dari vektor β vektor berikut! Jawaban Vektor yang sama dari gambar vektor-vektor yang disajikan adalah Vektor a dengan vektor g. Vektor f dengan vektor j. Alasannya adalah karena pasangan vektor tersebut memiliki panjang dan arah yang sama. Penjelasan dengan langkah-langkah Dua buah vektor dikatakan sama jika kedua vektor tersebut memiliki panjang yang sama serta arah vektor yang sama. Jika kedua vektor memiliki arah yang sama tetapi panjang yang berbeda maka vektor yang satu merupakan kelipatan dari vektor lainnya. a = k b dengan k = konstanta a dan b = vektor Jika k = 1, maka vektor a sama dengan vektor b. Diketahui Gambar vektor a, b, c, d, e, f, g, h, i dan j berupa garis lurus berarah. Ditanyakan Tentukan vektor yang sama dari vektor-vektor tersebut! Jawab Langkah 1 Pasangan pertama vektor yang sama adalah Vektor a dengan vektor g Alasannya Panjang vektor a sama dengan panjang vektor g. Arah vektor a sama dengan arah vektor g. Langkah 2 Pasangan kedua vektor yang sama adalah Vektor f dengan vektor j Alasannya Panjang vektor f sama dengan panjang vektor j. Arah vektor f sama dengan arah vektor j. Pelajari lebih lanjut Materi tentang proyeksi vektor u dan v Materi tentang perkalian vektor a dan b Materi tentang penjumlahan dan perkalian vektor Detil Jawaban Kelas 12 Mapel Matematika Kategori Vektor Kode TingkatkanPrestasimu SPJ3 Selain jawaban dari pertanyaan mengenai Tentukan Vektor Yang Sama Dari Vektor-vektor Berikut!, kamu juga bisa mendapatkan kunci jawaban dari soal-soal seperti tentukan vektor yang, Tentukan vektor satuan, Tentukan vektor yang, tentukan vektor yang, and tentukan vektor yang. . Semoga Bermanfaat untuk kamu yang sedang kesulitan mengerjakan Tugas / Ujian. Terima Kasih.
tentukanvektor yang sama dari vektor-vektor berikut !Vektor adalah sebuah besaran yang memiliki arah. Vektor juga dapat digambarkan sebagai panah yang menun
- Dilansir dari Encyclopedia Britannica, vektor merupakan besaran fisika yang memiliki besar dan arah. Resultan dari suatu vektor merupakan penjumlahan dari dua atau lebih vektor. Mari simak contoh soal dalam menentukan resultan vektor pada pembahasan resultan dari ketiga vektor di bawah ini. FAUZIYYAH Ilustrasi vektor F1, F2, dan F3 pada koordinat kartesius Langkah pertama adalah menentukan besar vektor pada proyeksi sumbu x dan sumbu y. F1 merupakan vektor dengan sudutnya diketahui berada pada referensi sumbu x. Sehingga kita dapat langsung memasukkannya ke dalam persamaan. Sementara itu vektor F1 termasuk pada kuadran 1, dimana sin dan cos bernilai positif. Baca juga Vektor Posisi, Kecepatan, dan Percepatan FAUZIYYAH Menentukan besar proyeksi vektor F1 pada sumbu x dan sumbu y F2 merupakan vektor dengan sudutnya diketahui berada pada referensi sumbu y. Sementara itu vektor F2 termasuk pada kuadran 2, dimana sin bernilai positif dan cos bernilai negatif. Untuk menentukan besar vektor F2, terdapat 2 cara yang dapat dipilih.
CaraSegitiga Jumlahan 2 vektor a dan b adalah suatu vektor c yang berawal dari titik pangkal vektor a menuju ujung vektor b, setelah ujung vektor a ditempelkan dengan pangkal vektor b. . Tentukan apakah vektor Misal U = ( 2, 4, 0 ), dan V = ( 1, -1, 3) adalah vektor di R berikut merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor U dan V
Blog Koma - Seperti yang telah kita bahas pada materi "pengertian vektor dan penulisannya", vektor memiliki besar panjangnya dan arah. Hal ini sangat berkaitan erat dengan materi kesamaan dua vektor yang akan kita bahas pada artikel kali ini yaitu materi Kesamaan Dua Vektor, Vektor Sejajar dan Segaris. Hal pertama yang akan kita bahas adalah pengertian kesamaan dua vektor, yang dilanjutkan dengan pembahasan vektor-vektor yang sejajar dan terakhir adalah titik-titik yang segaris kolinear. Untuk memudahkan mempelajari materi Kesamaan Dua Vektor, Vektor Sejajar dan Segaris, teman-teman harus menguasai beberapa materi vektor sebelumnya seperti "pengertian vektor", "panjang vektor" dan "vektor basis". Untuk sub-materi beberapa vektor yang sejajar dan sub-materi titik yang segaris kolinear sebenarnya memeiliki konsep yang sama yaitu menitikberatkan pada konsep kesejajaran pada vektor. Berikut penjelasan masing-masing secara lebih lengkap. Kesamaan Dua Vektor Pengertian kesamaan dua buah vektor atau lebih dapar kita tinjau dari dua hal yaitu $\spadesuit \, $ Secara Geometri Dua buah vektor dikatakan sama jika kedua vektor memiliki besar panjangnya dan arah yang sama. Misalkan vektor $ \vec{AB} $ sama dengan vektor $ \vec{CD} $ atau kita tulis $ \vec{AB} = \vec{CD} $ seperti ilustrasi berikut ini. $ \clubsuit \, $ Secara Aljabar Dua buah vektor dikatakan sama jika unsur-unsur yang bersesuaian besarnya sama nilainya sama. *. Vektor di R$^2 $ Misalkan $ \vec{a} = a_1, \, a_2 $ dan $ \vec{b} = b_1, \, b_2 $. Jika $ \vec{a} = \vec{b} $ , maka $ a_1 = b_1 $ dan $ a_2 = b_2 $ *. Vektor di R$^3$ Misalkan $ \vec{a} = a_1, \, a_2, \, a_3 $ dan $ \vec{b} = b_1, \, b_2, \, b_3 $. Jika $ \vec{a} = \vec{b} $ , maka $ a_1 = b_1 $, $ a_2 = b_2 $ dan $ a_3 = b_ 3 $ Catatan Secara Geometri, dua vektor meskipun tidak berimpit asalkan memiliki arah dan panjang yang sama, maka kita sebut kedua vektor tersebut sama. Contoh soal Kesamaan Dua Vektor 1. DIketahui titik $ A2,-1,1 $ , $ B1,0,3 $ , $ Cp, 1, 3 $ dan $ D-1, q, r $. Jika $ \vec{AB} = \vec{CD} $ , maka tentukan a. Koordinat titik C dan D , b. Nilai $ p + q + r $ Penyelesaian a. Koordinat titik C dan D , $ \begin{align} \vec{AB}& = \vec{CD} \\ B - A & = D - C \\ \left \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} \right - \left \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right & = \left \begin{matrix} -1 \\ q \\ r \end{matrix} \right - \left \begin{matrix} p \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right \\ \left \begin{matrix} 1 - 2 \\ 0 - -1 \\ 3 - 1 \end{matrix} \right & = \left \begin{matrix} -1 - p \\ q - 1 \\ r - 3 \end{matrix} \right \\ \left \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right & = \left \begin{matrix} -1 - p \\ q - 1 \\ r - 3 \end{matrix} \right \end{align} $ Dari kesamaan dua vektor, maka kita peroleh persamaan $ -1 = -1 - p \rightarrow p = 0 $ $ 1 = q - 1 \rightarrow q = 2 $ $ 2 = r - 3 \rightarrow r = 5 $ Sehingga koordinat titik C dan D adalah $ Cp,1,3 = 0,1,3 $ dan $ D-1,q,r = -1,2,5 $. b. Nilai $ p + q + r $ $ p + q + r = 0 + 2 + 5 = 7 $ Jadi, nilai $ p + q + r = 7 $. 2. Perhatikan gambar jajar genjang berikut ini, Dari gambar tersebut, tentukan a. Panjang vektor $ \vec{SR} $ dan vektor $ \vec{PS} $ , b. Koordinat titik S. Penyelesaian a. Panjang vektor $ \vec{SR} $ dan vektor $ \vec{PS} $ , *. Panjang vektor $ \vec{SR} $ , Perhatikan gambar, karena PQRS adalah jajar genjang, maka panjang SR = panjang PQ. Dilain pihak, vektor $ \vec{SR} $ memiliki arah yang sama dengan vektor $ \vec{PQ} $ , sehingga vektor $ \vec{SR} = \vec{PQ} $. Panjang vektor $ \vec{SR} $ sama dengan panjang vektor $ \vec{PQ} $. $ \vec{SR} = \vec{PQ} = \sqrt{3-1^2+1-2^2+-2-0^2} $ $ = \sqrt{4 + 9 + 4} =\sqrt{17} $ *. Panjang vektor $ \vec{PS} $ , Dengan alasan yang sama seperti vektor $ \vec{SR} $, maka $ \vec{PS} = \vec{QR} $ , $ \vec{PS} = \vec{QR} = \sqrt{5-3^2+7-1^2+1-2^2} $ $ = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7 $ b. Koordinat titik S. Pada bagian a di atas, kita peroleh $ \vec{SR} = \vec{PQ} $ dan $ \vec{PS} = \vec{QR} $, sehingga koordinat titik S bisa kita tentukan $ \begin{align} \vec{SR} & = \vec{PQ} \\ R - S & = Q - P \\ S & = R - Q + P \\ & = \left \begin{matrix} 5 \\ 7 \\ 1 \end{matrix} \right - \left \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{matrix} \right + \left \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{matrix} \right \\ & = \left \begin{matrix} 5- 3 + 1 \\ 7 - 1 + -2 \\ 1 - -2 + 0 \end{matrix} \right \\ & = \left \begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{matrix} \right \end{align} $ Jadi, koordinat titik S adalah $ S3, 4, 3 $. Kita juga bisa menggunakan kesamaan $ \vec{PS} = \vec{QR} $, juga memberikan hasil yang sama yaitu koordinat titik S adalah $ S3, 4, 3 $. 3. Diketahui vektor $ \vec{u} = \left \begin{matrix} \frac{1}{2}m - 1 \\ -5 \end{matrix} \right $ dan $ \vec{v} = \left \begin{matrix} -2 \\ 3-2n \end{matrix} \right $. Jika $ \vec{u} = \vec{v} $ , maka tentukan a. Nilai $ m - n $! b. vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ c. nilai $ \vec{u} + \vec{v} $ d. nilai $ \vec{u} + \vec{v} $ Penyelesaian a. Nilai $ m - n $! $ \begin{align} \vec{u} & = \vec{v} \\ \left \begin{matrix} \frac{1}{2}m - 1 \\ -5 \end{matrix} \right & = \left \begin{matrix} -2 \\ 3-2n \end{matrix} \right \end{align} $ terbentuk persamaan $ \frac{1}{2}m - 1 = -2 \rightarrow \frac{1}{2}m = -1 \rightarrow m = -2 $ $ -5 = 3 - 2n \rightarrow 2n = 8 \rightarrow n = 4 $. Sehingga nilai $ m - n = -2 - 4 = -6 $ b. vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ Karena $ \vec{u} = \vec{v} $ , maka kita gunakan salah satu saja. $ \vec{u} = \vec{v} = \left \begin{matrix} -2 \\ 3-2n \end{matrix} \right = \left \begin{matrix} -2 \\ -5 \end{matrix} \right $ c. nilai $ \vec{u} + \vec{v} $ Karena $ \vec{u} = \vec{v} $ , maka panjang kedua vektor juga sama yaitu $\vec{u} + \vec{v} = 2\vec{u}=2\sqrt{-2^2 + -5^2} = 2\sqrt{4 + 25} = 2\sqrt{29} $. d. nilai $ \vec{u} + \vec{v} $ Karena $ \vec{u} = \vec{v} $ , maka $ \vec{u} + \vec{v} = 2\vec{u} = 2 \left \begin{matrix} -2 \\ -5 \end{matrix} \right = \left \begin{matrix} -4 \\ -10 \end{matrix} \right $ Sehingga $ \begin{align} \vec{u} + \vec{v} & = \sqrt{-4^2 + -10^2} \\ & = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116} \\ & = \sqrt{4 \times 29} = 2\sqrt{29} \end{align} $ Jadi, panjang $ \vec{u} + \vec{v} = 2\sqrt{29} $. Vektor-vektor yang sejajar Dua vektor atau lebih sejajar memiliki kemiringan vektor yang sama yaitu searah atau berlawanan arah antara vektor-vektor tersebut dimana panjang-panjang vektornya tidak harus sama. Dengan kata lain, jika dua vektor sejajar maka salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lainnya. Perhatikan ilustrasi berikut ini. $ \spadesuit \, $ Definisi dua vektor sejajar Vektor $ \vec{p} $ sejajar vektor $ \vec{q} $ ditulis $ \vec{p} // \vec{q} $ apabila $ \vec{p} = k\vec{q} \, $ , dengan $ k $ skalar , $ k \in R $. $ k $ kita sebut sebagai pengali atau kelipatan vektor yang lainnya. Ada beberapa kemungkinan nilai $ k $ 1. Jika $ k > 0 $ , maka $ \vec{p} $ searah dengan $ \vec{q} $ , 2. Jika $ k 0 $. *. Menentukan nilai $ x $ dengan syarat $ k > 0 $ dan menyelesaikan pertidaksamaannya. $ \begin{align} k & > 0 \\ x^2 - 2x - 15 & > 0 \\ x + 3x - 5 & > 0 \\ x = -3 \vee x & = 5 \end{align} $ Garis bilangannya Solusinya $ x 5 $. Jadi, kedua vektor akan searah jika nilai $ x $ memenuhi $ x 5 $. c. Jika vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar, tentukan nilai $ x $ agar kedua vektor berlawan arah Untuk solusi bagian c ini adalah kebalikan dari solusi bagian b yaitu syarat berlawanan arah adalah $ k < 0 $. Jadi, kedua vektor akan berlawanan arah jika nilai $ x $ memenuhi $ -3 < x < 5 $. Titik-titik yang segaris Kolinear Jika diketahui beberapa titik segaris lebih dari dua titik, maka dapat kita buat vektor dari masing-masing dua titik yang segaris kolinear juga. Karena vektor-vektor yang terbentuk segaris, maka otomatis semua vektor yang terbentuk adalah sejajar, sehingga langkah selanjutnya bisa kita terapkan konsep vektor-vektor yang sejajar seperti teori di atas sebelumnya. Misalkan terdapat titik A, B, dan C segaris, maka bisa kita bentuk vektor $ \vec{AB} $ , $ \vec{BA} $ , $ \vec{AC} $, $ \vec{CA} $ , $ \vec{BC} $ dan $ \vec{CB} $ yang segaris juga mengakibatkan sejajar dimana salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lainnya. Artinya dapat juga kita tulis $ \vec{AB} = k\vec{BC} $ atau $ \vec{AB} = n\vec{AC} $ dan lainnya asalkan vektornya melibatkan lebih dari dua titik. Contoh soal beberapa titik segaris kolinear 10. Diketahui tiga titik yaitu $ A -3,-8,-3 $ , $ B1, -2, -1 $ dan $ C3,1,0 $. Coba selidiki, apakah titik A, B, dan C terletak pada satu garis segaris/kolinear? Pembahasan *. Untuk menentukan segaris atau tidak, cukup kita bentuk dua vektor dari titik-titik yang ada dan kita cek apakah salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lain, jika ya maka ketiga titik segaris dan berlaku sebaliknya. *. Misal kita bentu vektor $ \vec{AB} = B - A = 1 - -3, -2 - -8, -1-3 = 4, 6, 2 $ $ \vec{BC} = C - B = 3 - 1, 1 - -2 , 0 - -1 = 2, 3, 1 $ *. Terlihat bahwa $ \vec{AB} $ kelipatan dari vektor $ \vec{BC} $ yaitu $ \vec{AB} = 2\vec{BC} $. Artinya dapa kita simpulkan bahwa ketiga titik A, B, dan C segaris kolinear. 11. Agar titik $ A2,y,-8 $ , $ Bx, 3y,-2 $ , dan $ C 5, 4y, z $ terletak pada satu garis lurus, maka nilai $ x + z = ....$ ! Penyelesaian *. Agar ketiga titik segariskolinear , maka dua vektor yang terbentuk dari ketiga titik tersebut harus saling berkelipatan. Misalkan kita bentuk vektor $ \vec{AB} $ dan vektor $ \vec{BC} $, kita peroleh hubungan $ \begin{align} \vec{AB} & = k \vec{BC} \\ B - A & = k C - B \\ \left \begin{matrix} x \\ 3y \\ -2 \end{matrix} \right - \left \begin{matrix} 2 \\ y \\ -8 \end{matrix} \right & = k \left[ \left \begin{matrix} 5 \\ 4y \\ z \end{matrix} \right - \left \begin{matrix} x \\ 3y \\ -2 \end{matrix} \right \right] \\ \left \begin{matrix} x - 2 \\ 2y \\ 6 \end{matrix} \right & = k \left \begin{matrix} 5 - x \\ y \\ z + 2 \end{matrix} \right \\ \left \begin{matrix} x - 2 \\ 2y \\ 6 \end{matrix} \right & = \left \begin{matrix} 5 - xk \\ ky \\ z + 2k \end{matrix} \right \end{align} $ Dari kesamaan dua vektor kita peroleh $ 2y = ky \rightarrow k = 2 $ $ x - 2 = 5 - xk \rightarrow x - 2 = 5 - x.2 \rightarrow x = 4 $ $ 6 = z + 2k \rightarrow 6 = z + 2. 2 \rightarrow z = 1 $ Sehingga nilai $ x + z = 4 + 1 = 5 $. Jadi, nilai $ x + z = 5 $. Demikian pembahasan materi Kesamaan Dua Vektor, Vektor Sejajar dan Segaris dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Penjumlahan dan Pengurangan pada Vektor".
Keduakecepatan ini merupakan komponen dari vector kecepatan yang sedang ditentukan . R Perhatikan 2 buah vector berikut, kedua vector memiliki gaya yang sama yaitu sebesar 20 Newton. Tentukan besar resultan kedua vekttor ! Tentukan besar resultan kedua vector ! Jawab : Gunakan rumus sebelumnya : R = β F1 2 + F2 2 + 2 F1.F2 cos a
Vektor satuan adalah vektor yang besarnya sama dengan satu dan arahnya sama dengan vektornya. Cara mencari vektor satuan diperoleh melalui koordinat vektor dan panjang vektor tersebut. Simbol vektor satuan dituliskan dengan tanda seperti topi yang disebut caret ^ di atas huruf. Bahasan vektor satuan cukup penting untuk dipahami karena merupakan dasar untuk mempelajari bahasan vektor selanjutnya seperti dot products vector, cross products vector, dan lain sebagainya. Vektor sendiri merupakan besaran yang memiliki nilai dan arah. Arah vektor dapat ke kanan, kiri, bawah, atas, atau dinyatakan dengan sudut Ξ±, di mana Ξ± adalah sudut terkecil yang dibentuk vektor dengan sumbu x. Cara menuliskan vektor dapat dituliskan melalui panjang dan arah berupa besar sudutnya. Contohnya sebuah vektor dengan panjang 3 satuan membentuk sudut 30o. Sebuah vektor A yang terletak pada dimensi dua atau bidang xy dengan sudut Ξ± dapat diproyeksikan menjadi komponen Ax dan Ay. Komponen vektor A pada sumbu x adalah Ax dan komponen vektor pada sumbu y adalah Ay. Panjang vektor Ax = A cos Ξ± dan panjang vektor Ay = A sin Ξ±. Penjumlahan vektor Ax dan Ay merupakan vektor A, sehingga berlaku persamaan A = Axi + Ayj. Bentuk vektor yang dinyatakan seperti pada komponen vektor A memuat vektor satuan i β j β k. Baca Juga Cara Menghitung Panjang Vektor AB Apa itu vektor satuan i β j β k? Bagaimana cara mencari vektor satuan? Sobat idschool dapat mencari lebih lanjut melalui bahasan di bawah. Table of Contents Hubungan Antara Vektor Satuan dan Panjang Vektor Contoh Soal dan Pembahasan Contoh 1 β Soal Penulisan Vektor Satuan Contoh 2 β Soal Cara Mencari Vektor Satuan Contoh 3 β Soal Cara Mencari Vektor Satuan Hubungan Antara Vektor Satuan dan Panjang Vektor Pada bagian awal telah disinggung bahwa vektor satuan adalah vektor dengan arah sama yang memiliki panjang satu satuan. Misalkan sebuah vektor v memiliki nilai tiga satuan ke kanan, maka vektor satuan v adalah vektor dengan arah yang sama dengan vektor v yaitu ke kanan tetapi miliki panjang satu. Vektor v akan bernilai satu ketika dikalikan dengan skalar k = 1/3, sehingga vektor satuan v sama dengan 1/3 vektor v. Secara umum, agar suatu vektor memiliki panjang satu satuan maka perlu dikalikan dengan sebuah skalar yang nilainya satu per panjang vektor tersebut. Kesimpulannya, terdapat hubungan antara vektor satuan dan panjang vektor yang dapat dinyatakan dalam sebuah persamaan. Hubungan tersebut dinyatakan melalui persamaan yang dapat digunakan sebagai cara mencari vektor satuan seperti berikut. Contoh bagaimana cara mencari vektor satuan dapat dilihat pada penyelesaian contoh soal berikut. Soal Tentukan vektor satuan dari vektor p = 4, β3, 0! Penyelesaian Komponen vektor dalam koordinat disepakati dengan penyimbolan vektor satuan untuk sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Vektor satuan pada sumbu x positif yaitu satu satuan ke kanan disimbolkan dengan huruf i. Vektor satuan pada sumbu y positif atau satu satuan ke atas disimbolkan dengan huruf j. Sedangkan vektor satuan yang searah dengan sumbu z positif disimbolkan dengan huruf k. Komponen sebuah vektor dalam sebuah kesepakatan akan bernilai positif jika komponen tersebut berada pada sumbu x, sumbu y, dan sumbu z positif. Sebaliknya, komponen sebuah vektor bernilai negatif jika komponen tersebut berada pada sumbu x, y, dan z negatif. Berdasarkan kesepakatan tersebut, maka vektor v yang dinyatakan dalam persamaan vektor v = 3i β 4j dapat secara mudah dimengerti. Vektor v = 3i β 4j sama dengan vektor dengan arah tiga satuan ke kanan sejajar sumbu x dilanjutkan empat ke bawah sejajar sumbu y. Dengan demikian, vektor satuan akan memudahkan dalam menjelaskan arah dan mengidentifikasi komponen vektor dalam bahasan vektor. Baca Juga Cara Menghitung Resultan Vektor 3 Arah Secara Analisis Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan sebagai tolak ukur keberhasilan memahami bahasan cara mencari vektor satuan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan disertai dengan pembahasan cara mencari vektor satuan. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut untuk mengetahui keberhasilan dalam mengerjakan soal. Selamat berlatih! Contoh 1 β Soal Penulisan Vektor Satuan Perhatikan gambar berikut! Vektor satuan pada vektor p dapat dituliskan ke dalam persamaan β¦.A. 3i + 5jB. 3i + 7jC. 5i + 7jD. 7i + 3jE. 7i + 7j Pembahasan Vektor p merupakan vektor dengan arah tiga satuan ke kanan dan 7 satuan ke atas. Sehingga, vektor satuan pada vektor v dapat dituliskan ke dalam persamaan p = 3i + 7j. Jawaban B Contoh 2 β Soal Cara Mencari Vektor Satuan Pembahasan Mencari vektor satuan v Jawaban B Contoh 3 β Soal Cara Mencari Vektor Satuan Diketahui koordinat titik P 2, β1, 3 dan Q 3, β3, 5. Vektor satuan yang searah degab vektor PQ adalah β¦.A. i + 2j + 2kB. i β 2j + 2kC. 1/3i + 2/3j + 2/3kD. 1/3i β 2/3j + 2/3 kE. β1/3i + 2/3j β 2/3 k Pembahasan Mencari komponen vektor PQ Vektor PQ = Q β P= 3, β3, 5 β 2, β1, 3= 3 β 2, β3 ββ1, 5 β 3= 1, β3 +1, 2= 1, β2, 2 Mencari vektor satuan yang searah dengan vektor PQ Jadi, vektor satuan yang searah dengan vektor PQ adalah 1/3i β 2/3j + 2/3 k. Jawaban D Demikianlah tadi ulasan materi cara mencari vektor satuan yang meliputi apa itu vektor satuan dan apa pentingnya memahami bahasan vektor satuan pada bahasan vektor selanjutnya. Terimakasih sudah mengunjungi idschooldotnet, semoga bermanfaat! Baca Juga Perkalian Silang Vektor Cross Product Vector a x b
Diberikandua buah vektor gaya yang sama besar masing-masing vektor besarnya adalah 10 Newton seperti gambar berikut. Jika sudut yang terbentuk antara kedua vektor adalah 60Β°, tentukan besar (nilai) resultan kedua vektor! Pembahasan Resultan untuk dua buah vektor yang telah diketahui sudutnya.
Subscribe!Klik di sini untuk berlangganan artikel melalui Telegram. Merentang ruang vektor, adalah syarat bagi himpunan bebas linear untuk menjadi basis ruang vektor. Tapi, apa sih yang disebut merentang? Sebelum menjawab pertanyaan ini, mari perhatikan daftar isi berikut. Definisi Merentang Definisi Misalkan adalah subset tak kosong dari suatu ruang vektor dan adalah himpunan yang memuat semua kombinasi linear yang mungkin dari vektor-vektor dalam . Maka disebut subruang dari yang direntang oleh . Dengan kata lain, himpunan merentang . Subruang ini dituliskan dengan notasi Berdasarkan definisi, himpunan dikatakan merentang ruang vektor , jika Dengan kata lain, setiap vektor dalam dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam . Dua himpunan yang berbeda dapat merentang subruang yang sama. Hal ini termuat dalam teorema berikut. Teorema 1 Misalkan dan adalah subset tak kosong dari suatu ruang vektor . Maka jika dan hanya jika setiap vektor dalam dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam , begitupun sebaliknya. Soal dan PembahasanNomor 1Misalkan adalah ruang vektor, dan himpunan merentang . Jika , maka buktikan bahwa himpunan juga merentang .PembahasanMisalkan $\textbf{q} \in V$. Karena himpunan $S$ merentang $V$, maka terdapat skalar $k_1,k_2,\ldots,k_n$ sedemikian sehingga $$\textbf{q} = k_1\textbf{u}_1+k_2\textbf{u}_2+\ldots+k_n\textbf{u}_n$$ Persamaan ini dapat ditulis sebagai $$\textbf{q} = 0\textbf{w} + k_1\textbf{u}_1+k_2\textbf{u}_2+\ldots+k_n\textbf{u}_n$$ Artinya, $\textbf{q}$ adalah kombinasi linear dari vektor-vektor $\textbf{w},\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\ldots,\textbf{u}_n$. Dengan demikian, himpunan $S'$ juga merentang $V$. 2Misalkan adalah ruang vektor dan himpunan merentang . Jika adalah kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya, maka buktikan bahwa himpunan juga merentang .PembahasanMisalkan $\textbf{q} \in V$ dan $\textbf{u}_1$ adalah kombinasi linear dari vektor-vektor lain dalam $S$, yaitu $$\textbf{u}_1=l_2\textbf{u}_2+l_3\textbf{u}_3+\ldots+l_n\textbf{u}_n$$ untuk suatu skalar $l_2,l_3,\ldots,l_n$. Karena himpunan $S$ merentang $V$, maka terdapat skalar $k_1,k_2,\ldots,k_n$ sedemikian sehingga $$\begin{aligned} \textbf{q} &= k_1\textcolor{blue}{\textbf{u}_1}+k_2\textbf{u}_2+\ldots+k_n\textbf{u}_n \\ &= k_1\textcolor{blue}{l_2\textbf{u}_2+l_3\textbf{u}_3+\ldots+l_n\textbf{u}_n}+k_2\textbf{u}_2+\ldots+k_n\textbf{u}_n \\ &= k_1l_2+k_2\textbf{u}_2+k_1l_3+k_3\textbf{u}_3+\ldots+k_1l_n+k_n\textbf{u}_n \end{aligned}$$ Artinya, $\textbf{q}$ adalah kombinasi linear dari vektor-vektor $\textbf{u}_2,\ldots,\textbf{u}_n$. Dengan demikian, himpunan $S'$ juga merentang $V$. 3Misalkan adalah ruang vektor dan adalah himpunan vektor dalam . Buktikan bahwa adalah subruang .PembahasanHimpunan $V$ bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar, sehingga $\text{span}S$ adalah subset dari $V$. Selain itu, vektor nol adalah kombinasi linear dari vektor-vektor dalam $S$, sehingga $\text{span}S$ bukan himpunan kosong. Misalkan $k$ adalah skalar dan $\textbf{v},\textbf{w} \in \text{span}S$ dengan $$\begin{aligned} \textbf{v} &= l_1\textbf{u}_1+l_2\textbf{u}_2+\ldots+l_n\textbf{u}_n \\ \textbf{w} &= m_1\textbf{u}_1+m_2\textbf{u}_2+\ldots+m_n\textbf{u}_n \end{aligned}$$ Untuk membuktikan $\text{span}S$ subruang dari $V$, perlu ditunjukkan $\textbf{v}+k\textbf{w} \in \text{span}S$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{v}+k\textbf{w} &= l_1\textbf{u}_1+l_2\textbf{u}_2+\ldots+l_n\textbf{u}_n+km_1\textbf{u}_1+m_2\textbf{u}_2+\ldots+m_n\textbf{u}_n \\ &= l_1\textbf{u}_1+l_2\textbf{u}_2+\ldots+l_n\textbf{u}_n+km_1\textbf{u}_1+km_2\textbf{u}_2+\ldots+km_n\textbf{u}_n \\ &= l_1+km_1\textbf{u}_1+l_2+km_2\textbf{u}_2+\ldots+l_n+km_n\textbf{u}_n \end{aligned}$$ Akibatnya $\textbf{v}+k\textbf{w} \in \text{span}S$. Dengan demikian, $\text{span}S$ adalah subruang vektor dari $V$. 4Misalkan adalah ruang vektor dan adalah himpunan vektor dalam . Buktikan bahwa .PembahasanMisalkan $\textbf{u}_r \in S$. Untuk membuktikan $S \subseteq \text{span}S$, perlu ditunjukkan $\textbf{u}_r \in \text{span}S$. Perhatikan bahwa $$\textbf{u}_r = 0\textbf{u}_1+0\textbf{u}_2+\ldots+1\textbf{u}_r+\ldots+0\textbf{u}_n$$ sehingga $\textbf{u}_r \in \text{span}S$. Dengan demikian, $S \subseteq \text{span}S$. 5Misalkan adalah ruang vektor dan adalah himpunan vektor dalam . Jika adalah subruang yang memuat , maka buktikan bahwa .PembahasanMisalkan $\textbf{t} \in \text{span}S$, sehingga $$\textbf{t}=k_1\textbf{u}_1+k_2\textbf{u}_2+\ldots+k_n\textbf{u}_n$$ untuk suatu skalar $k_1,k_2,\ldots,k_n$. Diketahui $S \subseteq W$, sehingga $\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\ldots,\textbf{u}_n \in W$. Karena $W$ subgrup, maka aksioma 1 dan 6 berlaku, sehingga $$k_1\textbf{u}_1+k_2\textbf{u}_2+\ldots+k_n\textbf{u}_n = \textbf{t} \in W$$ Dengan demikian, $\text{span}S \subseteq W$. 6Misalkan dengan Periksa apakah himpunan merentang .PembahasanDiambil sebarang $\textbf{w}=a_1,a_2,a_3 \in \mathbb{R}^3$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{w} &= a_1,a_2,a_3 \\ &= a_1,0,0+0,a_2,0+0,0,a_3 \\ &= a_11,0,0+a_20,1,0+a_30,0,1 \\ &= a_1 \textbf{u}_1+a_2 \textbf{u}_2 + a_3 \textbf{u}_3 \end{aligned}$$ Dengan demikian, himpunan $S$ merentang $\mathbb{R}^3$.Nomor 7Misalkan dengan Periksa apakah himpunan merentang .PembahasanDiambil sebarang $\textbf{w}=a,b,c \in \mathbb{R}^3$. Perlu diperiksa, apakah terdapat skalar $p,q,r$ sedemikian sehingga $\textbf{w}=p\textbf{u}_1 + q\textbf{u}_2 + r\textbf{u}_3$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} a,b,c &= p2,2,2 + q0,0,3 + r0,1,1 \\ &= 2p,2p,2p + 0,0,3q + 0,r,r \\ &= 2p,2p+r,2p+3q+r \end{aligned}$$ Dari persamaan di atas, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{3} 2p&\\&&\\& \=\ &a \\ 2p&\\&&\+\&r \=\ &b \\ 2p&\+\&3q&\+\&r \=\ &c \end{alignat*}\right.$$ Dari persamaan pertama diperoleh $p=a/2$. Substitusi nilai $p$ pada persamaan kedua, untuk memperoleh nilai $r=b-a$. Terakhir, substitusi nilai $p$ dan $r$ pada persamaan ketiga, untuk memperoleh nilai $q=c-b/3$. Jadi, sistem persamaan di atas mempunyai solusi $$p=\frac{a}{2}, \ q=\frac{c-b}{3}, \ r=b-a$$ Dengan demikian, himpunan $S$ merentang $\mathbb{R}^3$.Nomor 8Misalkan dengan Gunakan Teorema 1 untuk menunjukkan bahwa himpunan merentang .PembahasanMisalkan $W=\{\textbf{e}_1,\textbf{e}_2,\textbf{e}_3\}$ dengan $$\textbf{e}_1=1,0,0,\\textbf{e}_2=0,1,0,\\textbf{e}_3=0,0,1$$ Kita tahu bahwa himpunan $W$ merentang $\mathbb{R}^3$. Karena $\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3 \in \mathbb{R}^3$, maka ketiganya dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam $W$. Berikutnya, tinggal ditunjukkan bahwa $\textbf{e}_1,\textbf{e}_2,\textbf{e}_3$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam $S$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{e}_3 &= \frac{1}{3} \textbf{u}_2 \\ \textbf{e}_2 &= \textbf{u}_3-\frac{1}{3} \textbf{u}_2 \\ \textbf{e}_1 &= \frac{1}{2} \textbf{u}_1-\textbf{u}_3 \end{aligned}$$ Berdasarkan Teorema 1, diperoleh $$\text{span}S=\text{span}W=\mathbb{R}^3$$ Dengan demikian, himpunan $S$ merentang $\mathbb{R}^3$. 9Misalkan dengan Periksa apakah himpunan merentang .PembahasanDiambil sebarang $\textbf{w}=a,b,c \in \mathbb{R}^3$. Perlu diperiksa, apakah terdapat skalar $p,q,r$ sedemikian sehingga $\textbf{w}=p\textbf{u}_1 + q\textbf{u}_2 + r\textbf{u}_3$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} a,b,c &= p1,1,1 + q1,2,3 + r1,5,8 \\ &= p+q+r,p+2q+5r,p+3q+8r \end{aligned}$$ Dari persamaan di atas, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{3} p&\+\&q&\+\&r \=\ &a \\ p&\+\&2q&\+\&5r \=\ &b \\ p&\+\&3q&\+\&8r \=\ &c \end{alignat*}\right.$$ Sistem persamaan ini mempunyai matriks koefisien $$A=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&2&5\\1&3&8\end{bmatrix}$$ Karena $\text{det}A=-1\neq0$ periksa!, maka sistem persamaan di atas konsisten untuk setiap $a,b,c \in \mathbb{R}^3$. Dengan demikian, himpunan $S$ merentang $\mathbb{R}^3$.Nomor 10Misalkan dengan Periksa apakah himpunan merentang .PembahasanDiambil sebarang $\textbf{w}=a,b,c \in \mathbb{R}^3$. Perlu diperiksa, apakah terdapat skalar $p,q,r$ sedemikian sehingga $\textbf{w}=p\textbf{u}_1 + q\textbf{u}_2 + r\textbf{u}_3$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} a,b,c &= p2,-1,3 + q4,1,2 + r8,-1,8 \\ &= 2p+4q+8r,-p+q-r,3p+2q+8r \end{aligned}$$ Dari persamaan di atas, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{3} 2p&\+\&4q&\+\&8r \=\ &a \\ -p&\+\&q&\-\&r \=\ &b \\ 3p&\+\&2q&\+\&8r \=\ &c \end{alignat*}\right.$$ Sistem persamaan ini mempunyai matriks koefisien $$A=\begin{bmatrix}2&4&8\\-1&1&-1\\3&2&8\end{bmatrix}$$ Karena $\text{det}A=0$ periksa!, maka dapat disimpulkan bahwa himpunan $S$ tidak merentang $\mathbb{R}^3$.Nomor 11Misalkan Tentukan syarat yang harus dipenuhi oleh sehingga berada dalam .PembahasanMisalkan $\textbf{w} = a,b,c \in \text{span}\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3\}$, sehingga terdapat skalar $p,q,r$ yang memenuhi $$\begin{aligned} \textbf{w} &= p\textbf{u}_1 + q\textbf{u}_2 + r\textbf{u}_3 \\ a,b,c &= p1,2,0 + q-1,1,2 + r3,0,-4 \\ &= p-q+3r,2p+q,2q-4r \end{aligned}$$ Dari persamaan di atas, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{3} p&\-\&q&\+\&3r \=\ &a \\ 2p&\+\&q&\\& \=\ &b \\ &\\&2q&\-\&4r \=\ &c \end{alignat*}\right.$$ Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan ini adalah $$\begin{bmatrix}1&-1&3&a\\2&1&0&b\\0&2&-4&c\end{bmatrix}$$ dengan bentuk eselon baris $$\begin{bmatrix}1&-1&3&a\\0&1&-2&\frac{-2a+b}{3}\\0&0&0&\frac{-2a+b}{3}-\frac{c}{2}\end{bmatrix}$$ Karena $\textbf{w} \in \text{span}\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3\}$, maka sistem persamaan di atas harus konsisten. Dan ini terjadi, jika $$\frac{-2a+b}{3}-\frac{c}{2}=0 \quad \Longrightarrow \quad -4a+2b-3c=0$$ Jadi, syarat yang harus dipenuhi oleh $a,b,c$ adalah $-4a+2b-3c=0$.Nomor 12Misalkan dan Gunakan Teorema 1, untuk menunjukkan bahwa .PembahasanPertama, kita akan menunjukkan bahwa $\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari $\textbf{w}_1,\textbf{w}_2$. Hal ini dapat dilakukan dengan inspeksi, karena komponen pertama dari $\textbf{w}_2$ adalah $0$. $$\begin{aligned} \textbf{u}_1 &= \textbf{w}_1+\textbf{w}_2 \\ \textbf{u}_2 &= 2\textbf{w}_1+\textbf{w}_2 \\ \textbf{u}_3 &= -\textbf{w}_1 \end{aligned}$$ Berikutnya, kita akan menunjukkan bahwa $\textbf{w}_1,\textbf{w}_2$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari $\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{w}_1 &= -\textbf{u}_3 \\ \textbf{w}_2 &= \textbf{u}_1+\textbf{u}_3 \end{aligned}$$ Berdasarkan Teorema 1, dapat disimpulkan bahwa $$\text{span}\{\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3\}=\text{span}\{\textbf{w}_1,\textbf{w}_2\}$$ 13Misalkan dengan Periksa apakah himpunan merentang .PembahasanDiambil sebarang $\textbf{q}=a+bx+cx^2 \in P_2$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \textbf{q} &= a+bx+cx^2 \\ &= a \cdot 1 + b \cdot x + c \cdot x^2 \\ &= a \textbf{p}_1+b \textbf{p}_2 + c \textbf{p}_3 \end{aligned}$$ Dengan demikian, himpunan $S$ merentang $P_2$.Nomor 14Misalkan dengan Periksa apakah himpunan merentang .PembahasanDiambil sebarang $\textbf{w}=a+bx+cx^2 \in P_2$. Perlu diperiksa, apakah terdapat skalar $k_1,k_2,k_3$ sedemikian sehingga $\textbf{w}=k_1\textbf{p}_1 + k_2\textbf{p}_2 + k_3\textbf{p}_3$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} a+bx+cx^2 &= k_1x^2+1 + k_2x^2+x + k_3x+1 \\ &= k_1+k_3 + k_2+k_3x + k_1+k_2x^2 \end{aligned}$$ Dari persamaan di atas, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{3} k_1&\\&&\+\&k_3 \=\ &a \\ &\\&k_2&\+\&k_3 \=\ &b \\ k_1&\+\&k_2&\\& \=\ &c \end{alignat*}\right.$$ Sistem persamaan ini mempunyai matriks koefisien $$A=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}$$ Karena $\text{det}A=-2\neq0$ periksa!, maka sistem persamaan di atas konsisten untuk setiap $a+bx+cx^2 \in P_2$. Dengan demikian, himpunan $S$ merentang $P_2$.Nomor 15Misalkan dengan Periksa apakah himpunan merentang .PembahasanDiambil sebarang $\textbf{w}=a+bx+cx^2 \in P_2$. Perlu diperiksa, apakah terdapat skalar $k_1,k_2,k_3,k_4$ sedemikian sehingga $\textbf{w}=k_1\textbf{p}_1 + k_2\textbf{p}_2 + k_3\textbf{p}_3+k_4\textbf{p}_4$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} a+bx+cx^2 &= k_11-x+2x^2 + k_23+x + k_35-x+4x^2 + k_4-2-2x+2x^2 \\ &= k_1+3k_2+5k_3-2k_4 + -k_1+k_2-k_3-2k_4x + 2k_1+4k_3+2k_4x^2 \end{aligned}$$ Dari persamaan di atas, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{4} k_1&\+\&3k_2&\+\&5k_3&\-\&2k_4 \=\ &a \\ -k_1&\+\&k_2&\-\&k_3&\-\&2k_4 \=\ &b \\ 2k_1&\\&&\+\&4k_3&\+\&2k_4 \=\ &c \end{alignat*}\right.$$ Matriks yang diperbesar dari sistem persamaan ini adalah $$A=\begin{bmatrix} 1&3&5&-2&a\\ -1&1&-1&-2&b\\ 2&0&4&2&c \end{bmatrix}$$ dengan bentuk eselon baris $$A=\begin{bmatrix} 1&3&5&-2&a\\ 0&1&1&-1&\frac{a+b}{4}\\ 0&0&0&0&-\frac{a}{2}+\frac{3b}{2}+c \end{bmatrix}$$ Sistem persamaan ini konsisten, hanya jika $$-\frac{a}{2}+\frac{3b}{2}+c=0$$ Dengan demikian, himpunan $S$ tidak merentang $P_2$.Nomor 16Misalkan dengan Periksa apakah himpunan merentang .PembahasanDiambil sebarang $A \in M_{2\times 2}\mathbb{R}$, dengan $$A=\begin{bmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{bmatrix}$$ untuk suatu $a_1,a_2,a_3,a_4 \in \mathbb{R}$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} A &= \begin{bmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{bmatrix} \\[5pt] &= \begin{bmatrix}a_1&0\\0&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&a_2\\0&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&0\\a_3&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&0\\0&a_4\end{bmatrix} \\[5pt] &= a_1\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}+a_2\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}+a_3\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}+a_4\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix} \\[5pt] &= a_1E_1 + a_2E_2 + a_3E_3 + a_4E_4 \end{aligned}$$ Dengan demikian, himpunan $S$ merentang $M_{2 \times 2}\mathbb{R}$.Nomor 17Misalkan dengan Periksa apakah himpunan merentang .PembahasanDiambil sebarang $P \in M_{2 \times 2}\mathbb{R}$, dengan $$P=\begin{bmatrix}p_1&p_2\\p_3&p_4\end{bmatrix}$$ untuk suatu $p_1,p_2,p_3,p_4 \in \mathbb{R}$. Perlu diperiksa, apakah terdapat skalar $k_1,k_2,k_3,k_4$ sedemikian sehingga $P=k_1A+k_2B+k_3C+k_4D$. Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} \begin{bmatrix}p_1&p_2\\p_3&p_4\end{bmatrix} &= k_1\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} + k_2\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix} + k_3\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix} + k_4\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix} \\[5pt] &= \begin{bmatrix}k_1+k_2+k_3+k_4&k_2+k_3\\k_3+k_4&k_4\end{bmatrix} \end{aligned}$$ Dari persamaan di atas, diperoleh $$\left\{\begin{alignat*}{4} k_1&\+\&k_2&\+\&k_3&\-\&k_4 \=\ &p_1 \\ &\\&k_2&\+\&k_3&\\& \=\ &p_2 \\ &\\&&\\&k_3&\+\&k_4 \=\ &p_3 \\ &\\&&\\&&\\&k_4 \=\ &p_4 \end{alignat*}\right.$$ Melalui substitusi balik, diperoleh solusi $$\begin{aligned} k_1 &= p_1-p_2-p_4 \\ k_2 &= p_2-p_3+p_4 \\ k_3 &= p_3-p_4 \\ k_4 &= p_4 \end{aligned}$$ Dengan demikian, himpunan $S$ merentang $M_{2 \times 2}\mathbb{R}$.
Duabuah vektor kecepatan besarnya 3 m/s dan 4m/s bekerja seritik tangkap Tentukan kedua vektor jika sudut yang diampit kedua vektor adalah a. 30Β° Tentukan resultan dari gaya-gaya berikut dengan metode grafis dan analisis Fisika 3 20.08.2019 16:53.
. 71ehzp6ofv.pages.dev/38971ehzp6ofv.pages.dev/22871ehzp6ofv.pages.dev/6471ehzp6ofv.pages.dev/7171ehzp6ofv.pages.dev/13771ehzp6ofv.pages.dev/25971ehzp6ofv.pages.dev/31671ehzp6ofv.pages.dev/39671ehzp6ofv.pages.dev/66
tentukan vektor yang sama dari vektor vektor berikut
